从零推导指数估值模型 —— 一个三因子打分系统的设计思路

估值到底在度量什么

当我们说一个指数"被低估"了，这句话到底是什么意思？

很多人的第一反应是"PE 低就是低估"——市盈率 10 倍比 30 倍便宜，所以 PE 低的时候买入。这个直觉方向没错，但过于粗糙。同一个指数，在不同的历史时期，"合理"的 PE 是不一样的。沪深 300 在 2015 年牛市顶峰的 PE 是 18 倍，而在 2018 年底部是 10 倍——但你不能说 15 倍就一定是"贵"的，因为 2010 年时它的 PE 中位数在 14 倍左右。

所以，我们需要的不是绝对值的判断，而是相对于自身历史的位置判断。这就引出了估值模型的第一个核心概念：历史百分位。

一个指数当前的 PE 百分位 = 30%，意思是在过去 N 年的交易日中，有 30% 的时间 PE 比现在更低。换言之，当前估值处于历史偏低的位置。

这看起来很简单对不对？但如果我们只靠一个 PE 百分位就能做投资决策，那量化投资也太容易了。实际上，单一指标存在很多盲区，而如何选择和组合多个指标，才是估值模型设计中最值得深入思考的问题。

从单因子到多因子：不是越多越好

在设计估值模型时，一个自然的想法是：既然一个指标不够，那就多加几个。PE 百分位不够就加 PB 百分位，PB 还不够就加股息率、股权风险溢价（ERP）、股息-债息利差……指标越多，覆盖越全面，模型越"科学"，对吧？

我最初也是这么想的。在第一个版本的行业估值系统中，我设计了一个五因子模型：

五个因子，每个听起来都有独立的经济含义。但当我尝试用数学去检验这些因子之间的关系时，问题就暴露了。

因子正交性分析：五个因子只有两个半维度

我们来做一个简单的数学推导，看看这五个因子之间到底是什么关系。

先列出几个基本的财务恒等式：

PB = PE × ROE            （ROE = 净资产收益率，Return On Equity）
DY = 每股派息率 / PE          （DY = Dividend Yield，股息率，是指每股派息金额占每股价格的比例）
ERP = 1/PE - Rf          （Rf = 无风险利率，即国债收益率，risk-free interest rate）
Yield Spread = DY - Rf = 每股派息率/PE - Rf （Yield Spread 收益率差,这里指该指数的收益率与国债的收益率差）

这几个等式揭示了一个关键事实：这五个因子并不是五个独立的维度。

PE 和 PB 之间通过 ROE 关联。如果一个行业的 ROE 长期稳定（比如银行、公用事业），那么 PE 和 PB 的百分位走势会高度同步。但如果 ROE 波动大（比如周期股在盈利高峰和低谷之间反复横跳），PE 和 PB 就会出现分歧——这也正是 PB 因子存在的价值：它在 PE 失真时提供了另一个锚。

所以 PE 和 PB 可以算作"接近两个独立维度"，在 ROE 稳定的行业接近一个维度，在周期行业接近两个。取折中，大约 1.5 个独立维度。

接下来看剩下三个因子：

ERP = 1/PE - Rf。它本质上是 PE 的倒数减去一个外部变量（国债收益率）。其中 1/PE（盈利收益率）完全由 PE 决定，而 Rf 是一个宏观变量，对所有股票都一样。所以 ERP 相对于 PE 引入了大约"半个"新维度——那个半维度就是利率环境的信息。

DY = 每股派息率 / PE。它也是 PE 的变换，多了一个派息率的调节。但对于大多数指数来说，派息率在中短期内变化不大，所以 DY 百分位与 PE 百分位高度相关。

Yield Spread = DY - Rf = 派息率/PE - Rf。这东西和 ERP 的结构几乎一模一样，区别只是用了"派息率/PE"替代了"1/PE"。由于派息率 < 1，Yield Spread 实际上是一个"缩小版的 ERP"。

画一张关系图就更清楚了：

结论：五个因子只提供了大约 2 到 2.5 个独立信息维度。

这意味着如果我们天真地把五个因子都加入模型，看似覆盖面很广，实际上只是在用不同的数学表达反复强调同一件事。更糟糕的是，这种冗余会导致权重分配失真——比如在某些行业配置中，与 PE 相关的因子（PE 百分位 + ERP + DY + Yield Spread）占了总权重的 70% 以上，而真正独立的 PB 维度反而被边缘化了。

三因子模型：选择信息密度最高的组合

既然五个因子有大量冗余，那应该保留哪些？

原则很简单：在每个独立维度上，选择信息密度最高的那个代表。

维度一：盈利估值 → PE TTM 百分位

没有争议。PE 是最直观、最通用的盈利估值指标。它衡量的是"为每一块钱的盈利，市场愿意付多少钱"。PE 百分位把这个绝对值转化为相对位置，消除了不同行业之间的可比性问题。

维度二：资产估值 → PB 百分位

PB 的存在是为了在 PE 失灵时提供补充。什么时候 PE 会失灵？最典型的场景是深度周期行业的 Molodovsky 效应。

举个例子：钢铁行业在行业景气高峰时，利润暴增，PE 反而降到个位数（看起来很"便宜"）。但这恰恰是行业最危险的时候——高利润意味着产能即将过剩、价格即将下跌。反过来，在行业最低谷时，利润跌到接近零，PE 飙升到几百倍（看起来很"贵"），但这其实是买入的好时机。

这就是 Molodovsky 效应：PE 在周期股上给出的信号是反的。

而 PB 不受盈利波动的影响（它衡量的是资产价值而非盈利），在周期底部依然能够正确反映资产折价程度。因此，对于深度周期行业（钢铁、煤炭、有色金属等），PB 是比 PE 更可靠的估值锚。

这对模型设计有两个直接的影响：

1. 权重倾斜：对于深度周期行业，应该大幅提高 PB 的权重，让 PB 主导估值判断，PE 只作为辅助参考。同时，由于 PE 本身不可靠，依赖 PE 的 ERP（= 1/PE - Rf）也不应参与评分。
2. PE 评分取反：深度周期行业的 PE 评分需要反转——score = 100 - pe_ttm_percentile，百分位越高（盈利越差）反而越有吸引力。

维度三：利率环境 → 股权风险溢价（ERP）

PE 和 PB 百分位都是纯粹的"自我比较"——拿指数当前的估值和自己的历史比。但这忽略了一个关键的外部变量：无风险利率。

同样是 PE = 15 倍（对应盈利收益率 6.67%），在十年期国债收益率 2% 的环境下和 5% 的环境下，含义完全不同。前者意味着股票比债券有 4.67% 的超额收益，后者只有 1.67%。

ERP（Equity Risk Premium）正是捕捉这个维度的最佳指标：

ERP = 盈利收益率 - 无风险利率 = 1/PE - 国债收益率

那为什么不用 Yield Spread（股息-债息利差）来代替 ERP 呢？两个原因：

1. 覆盖范围。盈利收益率覆盖了公司的全部盈利（包括留存再投资的部分），而股息率只覆盖分红那一小部分。对于成长型行业（如电子、计算机），很多公司派息率极低甚至不分红，股息率几乎没有参考价值，但盈利收益率依然有效。
2. 信息完整性。ERP = 1/PE - Rf，Yield Spread = 派息率/PE - Rf。后者只是前者乘以一个派息率系数。在派息率稳定的前提下，两者高度共线。而 ERP 包含的信息严格多于 Yield Spread。

所以在 ERP 和 Yield Spread 之间，ERP 是更优的选择。而 DY 百分位已经被 PE 百分位大部分覆盖（DY = 派息率/PE），不值得单独占一个因子的位置。

最终，三因子模型的因子选择是：

三个因子，覆盖了全部 2.5 个独立维度，没有冗余。

评分映射：从指标值到 0-100 分

确定了因子之后，下一步是把每个因子的原始值映射到一个统一的 0-100 分体系，其中：

• 0 分 = 极度有吸引力（深度低估）
• 100 分 = 极度无吸引力（严重高估）
• 50 分 = 中性

PE 和 PB：百分位即得分

对于百分位类因子，映射非常直接——百分位本身就是得分。PE 百分位 20% → 得分 20（偏低估）。PB 百分位 80% → 得分 80（偏高估）。

但对于深度周期行业，如前文所述，PE 和 PB 的得分都需要取反——百分位越高反而越有吸引力：

if is_deep_cyclical:
    pe_score = 100 - pe_percentile
    pb_score = 100 - pb_percentile
else:
    pe_score = pe_percentile
    pb_score = pb_percentile

ERP：分段线性映射

ERP 不是百分位指标，它是一个有明确经济含义的绝对值。我们需要设定一组阈值来定义"什么水平的 ERP 算高，什么算低"。

思路是这样的：根据历史经验，A 股市场的 ERP 大致在 -3% 到 +6% 之间波动。我们可以在这个范围内划分若干档位，每个档位对应一个 0-100 的得分——ERP 越高（股票越有吸引力），得分越低。比如 ERP 超过 6% 时评为 5 分（极度低估），ERP 低于 -3% 时评为 95 分（严重高估）。

相邻档位之间使用线性插值，确保得分变化是平滑连续的：

def map_value_to_score(value, thresholds, default_score=95.0):
    """在相邻阈值之间线性插值，得到连续的得分。"""
    if value >= thresholds[0][0]:
        return thresholds[0][1]
    for i in range(len(thresholds) - 1):
        upper_val, upper_score = thresholds[i]
        lower_val, lower_score = thresholds[i + 1]
        if value >= lower_val:
            t = (value - lower_val) / (upper_val - lower_val)
            return lower_score + t * (upper_score - lower_score)
    return default_score

动态阈值调整

但这里还有一个微妙的问题。上面的 ERP 阈值是基于"历史平均利率环境"设定的。如果无风险利率显著偏离历史均值，固定阈值就会产生系统性偏差。

比如，当 10 年期国债收益率从历史均值 2.8% 下降到 1.5% 时，即使股市估值没变，ERP 也会因为 Rf 下降而机械性升高。如果我们的阈值不跟着调整，模型就会持续发出"低估"信号，而实际上只是利率环境变了。

解决办法是让 ERP 阈值跟随利率环境动态漂移：

def get_dynamic_erp_thresholds(bond_yield, base_thresholds,
                                baseline_bond_yield, adjustment_rate=0.5):
    """当利率偏离基线时，阈值同向调整。"""
    adjustment = (bond_yield - baseline_bond_yield) * adjustment_rate
    return [(erp_val + adjustment, score) for erp_val, score in base_thresholds]

这里的 adjustment_rate = 0.5 意味着：国债收益率每偏离基线 1 个百分点，ERP 阈值移动 0.5 个百分点。为什么不是 1:1？因为利率变动对股市估值的影响不是完全线性传导的，0.5 是一个经验性的折中系数。

加权合成：综合得分的计算

每个因子都有了 0-100 分的评分后，综合得分就是加权平均：

def calculate_composite_score(factor_scores, weights):
    """加权计算综合得分。任一因子缺失则拒绝计算。"""
    weighted_sum = 0.0
    for factor_name, weight in weights.items():
        if weight <= 0:
            continue
        score = factor_scores.get(factor_name)
        if score is None:
            return None  # 严格策略：缺一不可
        weighted_sum += score * weight
    return round(weighted_sum, 2)

不同类型的行业，三个因子的权重应该有所不同。这背后的逻辑是：不同行业对三个因子的"信任度"不一样。

• 深度周期行业（钢铁、煤炭等）：PB 主导，PE 辅助（且取反），不使用 ERP。因为 PE 在周期股上不可靠，ERP = 1/PE - Rf 自然也跟着失真。
• 金融行业（银行、保险等）：PB 权重最高（银行的核心是净资产），ERP 也有较高权重（金融股对利率敏感），PE 权重最低。
• 稳定消费（白酒、家电等）：PE 权重最高，因为盈利稳定可预测，PE 百分位的信号质量最好。
• 成长行业（电子、计算机等）：PE 和 PB 并重，ERP 适度降权——成长股投资者更看重内生增长潜力，利率因素的影响相对次要。
• 防御行业（公用事业、交通运输等）：三因子相对均衡，ERP 略高——这类行业现金流稳定，天然具有"类债券"属性，利率变化对其影响显著。

权重的具体数值需要根据各行业特征和历史回测来校准，这里不展开讨论。重要的是理解背后的思路：权重分配应该反映各因子在特定行业中的信息可靠性。

估值区间与投资信号

综合得分有了，最后一步是把连续的 0-100 分划分为离散的估值区间：

def get_valuation_zone(score):
    if score < 20:   return "deeply_undervalued"  # 极度低估
    if score < 40:   return "undervalued"          # 低估
    if score > 80:   return "deeply_overvalued"    # 极度高估
    if score > 60:   return "overvalued"           # 高估
    return "normal"                                # 正常

这个阈值划分并不是随意的。20/40/60/80 的切分对应正态分布的大致分位点，使得在"随机漫步"假设下，一个指数大约 20% 的时间处于低估/高估区间。

但需要注意的是，估值模型给出的是胜率提升而非确定性结论。综合得分 15 不意味着"现在买一定赚钱"，而是意味着"从历史统计来看，在这个估值水平买入，持有 3-5 年获得超额收益的概率显著高于均值"。

从宽基到行业：同一框架的不同参数

一个有趣的发现是：无论是对沪深 300、中证 500 这样的宽基指数做估值，还是对钢铁、医药、消费这样的行业指数做估值，最终选出的因子都收敛到了同一个答案——PE 百分位 + PB 百分位 + ERP。

这不是巧合，而是因子正交性分析的自然推论。既然这三个因子已经覆盖了估值判断所需的全部独立信息维度，那么不管被评估的对象是宽基指数还是行业指数，最优因子选择都应该是一样的。

区别仅在于参数配置：

1. 权重不同：宽基指数用相对均衡的权重，行业指数按类别差异化配置（如前文所述，周期行业偏重 PB，消费行业偏重 PE）
2. 特殊处理：行业需要处理 Molodovsky 效应（PE/PB 取反），宽基指数通常不需要
3. 阈值不同：不同行业的估值区间阈值可以独立配置（有些行业 30 分就算低估，有些要 25 分）

核心的评分引擎——因子评分、线性插值、动态阈值调整、加权合成——完全通用。这种"同一框架、不同参数"的统一性，让模型的维护和扩展变得非常简洁。

行业里大家都是怎么做估值的

在我们自己设计模型之前，有必要看看市面上的主流估值平台都在用什么方法。这既是知己知彼，也是为了理解我们的模型在整个光谱上处于什么位置。

单因子百分位流派：蛋卷（雪球）基金、理杏仁

这是目前使用最广泛的估值方法，蛋卷（雪球）基金的"指数估值"和理杏仁的估值数据都属于这一类。核心思路非常直接：取一个指数的 PE（或 PB），计算其在过去 N 年的历史百分位，然后简单地划线——百分位低于 30% 算低估，高于 70% 算高估，中间算适中。

蛋卷（雪球）的"估值表"可能是很多基金定投者接触到的第一个估值工具。它的优势是极度简洁：一个数字告诉你贵不贵，一目了然。但这种简洁是有代价的：

第一个问题是"PE 还是 PB"的选择困境。 不同平台在不同指数上会选用不同的指标。比如银行指数通常看 PB 百分位（因为银行的盈利受坏账拨备影响波动大），消费指数看 PE 百分位。但这个选择本身就是一次人为判断——为什么不能两个都参考？单因子方法强制你在 PE 和 PB 之间二选一，丢弃了另一个维度的信息。

第二个问题是百分位的时间窗口差异。 理杏仁提供了"近5年"、"近10年"、"全历史"等多种百分位口径。同一个指数在不同口径下，百分位可能差异巨大——比如一个指数近 5 年 PE 百分位 70%（看起来偏贵），但近 10 年百分位只有 40%（其实正常）。这是因为过去 5 年的估值中枢本身就比 10 年均值低。选哪个口径？没有标准答案，用户自己做判断。

第三个问题，也是最根本的问题：完全忽视利率环境。 2020 年和 2024 年，沪深 300 的 PE 可能都是 12 倍，PE 百分位可能相近。但 2020 年 10 年期国债收益率在 3.0% 以上，2024 年已经降到了 2.0% 以下。利率大幅下行意味着"12 倍 PE"在 2024 年的含金量远高于 2020 年——盈利收益率相对无风险利率的超额收益更大了。纯粹的 PE 百分位对此视而不见。

估值温度流派：有知有行

有知有行的"温度计"是国内个人投资者中影响力最大的估值工具之一。它把估值抽象为一个 0°-100° 的"温度"，直觉上非常友好——温度越低越"冷"（便宜），越高越"热"（贵）。

相比蛋卷的单因子，有知有行做了一些改进。它的全市场温度基于万得全 A 等权 PE 的历史百分位计算，而指数层面引入了"内在收益率"（本质上就是盈利收益率 1/PE）作为辅助参考。同时，它的宏观数据板块展示了 10 年期国债收益率、GDP 增速等信息，暗示用户应该在更大的框架下理解估值温度。

但温度计的核心计算逻辑仍然是单维度的百分位排名。它没有在模型层面将利率环境纳入评分——国债收益率只是作为旁边的"参考数据"展示，不参与温度的计算。至于 PB、股息率这些指标，也只是作为指数层面的附加展示，不影响最终的温度读数。

换言之，温度计的 UX 比蛋卷好很多（视觉化、有宏观数据辅助），但底层模型的信息维度其实差不多。

FED 模型流派：学术界与部分机构

在学术和机构领域，有一个经典的估值框架叫做 FED 模型（得名于美联储，虽然美联储官方从未正式背书过这个模型）。它的核心思想非常简洁：

如果 盈利收益率 (1/PE) > 国债收益率 → 股票便宜
如果 盈利收益率 (1/PE) < 国债收益率 → 股票贵

这其实就是 ERP 的前身。FED 模型把股市估值直接与债券收益率挂钩，解决了纯百分位方法忽视利率的问题。但它也有明显的缺陷：

1. 没有百分位的概念。 它只看绝对值，不关心当前 ERP 在历史中的位置。一个 ERP = 3% 是高是低？在利率环境稳定的时候很好判断，但在利率大幅波动的时期就需要更多上下文。
2. 单一维度。 FED 模型只看盈利收益率 vs 债券收益率，不看 PB、不区分行业特征。它本质上是一个"股债性价比"指标，不是一个完整的估值模型。
3. 固定阈值问题。 传统 FED 模型用"ERP = 0"作为分界线，但这条线在不同市场（A 股 vs 美股）和不同时期（高利率 vs 低利率）的有效性差异很大。

我们的三因子模型在做什么不同的事

把上面三种流派放在一起对比，就能清楚看到我们的三因子模型在整个光谱上的位置：

简单来说，三因子模型做的是把三个流派各自做对的部分组合在一起：

• 从百分位流派借鉴了"与自身历史比较"的思想（PE 百分位 + PB 百分位）
• 从 FED 模型借鉴了"考虑利率环境"的思想（ERP）
• 在此基础上增加了百分位方法和 FED 模型都没做的事：多因子加权、按行业差异化配置权重、动态阈值调整

当然，这种组合不是免费的午餐——模型变得更复杂了，可解释性也降低了。一个用户看到"综合得分 35"时，他未必能快速理解这个数字背后是 PE 百分位、PB 百分位和 ERP 三个维度按特定权重加权的结果。因此在实际应用中，建议同时展示完整的评分分解（每个因子的原始值、百分位、得分、权重贡献），让使用者在需要时可以"拆开黑盒"看里面。

模型的局限性

最后，必须诚实地讨论这个模型做不到什么。

第一，它不包含任何基本面质量因子。 ROE、营收增速、自由现金流这些衡量企业"好不好"的指标，完全不在模型的考量范围内。模型只回答"贵不贵"，不回答"值不值"。一个 ROE 持续恶化的行业，即使 PE 百分位降到 10%，也可能是"便宜有便宜的道理"。这是设计上的有意取舍——估值模型的职责是判断价格水位，而非企业质量，两者应该由不同的模块各司其职。

第二，百分位参考的是"过去"。 如果一个行业正在经历结构性变化（比如互联网行业从高增长转向成熟期），那么过去十年的估值分布可能不再适用于未来。模型会告诉你"当前 PE 处于历史 20% 分位"，但它不会告诉你这个行业的估值中枢是否已经永久性下移。

第三，ERP 的动态调整系数是经验值。 adjustment_rate = 0.5 这个参数没有严格的理论推导，它是一个在回测中表现尚可的折中值。在极端利率环境下（比如零利率或负利率），这个线性调整假设可能不够准确。

第四，模型是事后校验的，不是预测工具。 综合得分低不代表明天就要涨，它只代表"如果历史模式重演，这个位置的安全边际比较厚"。而历史不一定会重演。

结语

回顾整个推导过程，这个三因子模型的核心思路可以用一句话概括：用最少的、正交的因子，覆盖估值判断所需的全部信息维度。

PE 百分位回答"盈利定价在历史中的位置"，PB 百分位回答"资产定价在历史中的位置"，ERP 回答"相对于无风险利率，股票还有没有吸引力"。三个问题，三个因子，没有冗余，没有遗漏。

而从五因子到三因子的精简过程，本身也是一个值得反思的教训：在模型设计中，增加复杂度是容易的，识别冗余是困难的。 五个因子看起来更"全面"，但如果其中三个都在说同一件事，那模型实际上并没有因此变得更聪明——它只是在用更复杂的方式重复自己。

这大概也是投资和工程的共通之处：真正有价值的不是堆砌更多的指标，而是理解每一个指标到底在告诉你什么，以及它和其他指标之间到底是互补关系还是同义反复。